Zufallsbit

Dieses Blog braucht dringend mehr Input. Das meiste was ich zu erzählen hätte, bräuchte leider eine längere Vorbereitung, scheitert aus Zeitgründen oder interessiert schlicht kein Schwein. Einen kleinen (für mich) interessanten Fakt aus der Spieltheorie habe ich aber doch loszuwerden.

Wenn wir von einem nicht kooperativem Zwei-Personen-Spiel mit perfekter Information reden, ist ein Spiel gemeint, wo zwei Spieler jeweils alle Züge des Spielers sehen können. Schach ist zum Beispiel ein Spiel mit perfekter Information, Poker dafür nicht. Bei kooperativen Spielen können sich Spieler untereinander absprechen, um vielleicht einen Vorteil für beide Spieler zu erwirken.

Eine weitere Eigenschaft von Zwei-Personen-Spielen ist, dass der Gewinn von Spieler A direkt der Verlust des Spielers B ist. Deshalb spricht man von einer "Auszahlung" am Ende eines Spiel, die positiv oder negativ sein kann. Eine Auszahlung von "10" würde bedeuten, Spieler A gewinnt 10, B verliert dafür 10. Umgekehrt gewinnt B bei Auszahlung "-10" und A verliert.

Nehmen wir mal ein Spiel an, das aus Anschaulichkeitsgründen so einfach wie möglich ist. Spieler A wählt einmal, Spieler B wählt danach und dann ist A noch einmal dran. Am Ende wartet irgendein Auszahlungsschema, das nicht besonders viel Sinn macht, aber ich bin ja auch kein Spieleerfinder. Konkret sieht das Spiel so aus, als Baum dargestellt:

Ein Beispiel: Sagen wir A wählt im ersten Zug die 2, B wählt 1 und A wählt noch einmal 1. Damit hätte A "2" gewonnen. Ganz offensichtlich gibt es begrenzt viele Aktionen, die die Spieler überhaupt ausführen können. Jeden "gesamten Spielablauf" aus der Sicht eines einzelnen Spielers bezeichnet man als "Strategie", zum Beispiel könnten wir es (2,2) nennen, wenn A im ersten und dritten Zug die "2" wählt. Zählen wir mal durch, wie viele Strategien A hat:

A1: Wähle (1,1) unabhängig von B's Zug

A2: Wähle 1 und mache dann das Gegenteil von B

A3: Wähle 1 und mache das Gleiche wie B

A4: Wähle (1,2) unabhängig von B's Zug

Außerdem gibt es natürlich weitere 4 Strategien, wenn A im ersten Zug 2 wählt. B hat weniger Strategien:

B1: Wähle 1 unabhängig von A's Zug

B2: Wähle 2 unabhängig von A's Zug

B3: Wähle das Gleiche wie A

B4: Wähle das Gegenteil von A

Wenn man das alles jetzt "normalisiert" darstellt, schreibt man die Strategien an eine Matrix und schreibt an die Schnittstellen die Auszahlung. Ungefähr so:

Als Beispiel: Sagen wir A wählt Strategie 3, B wählt 4. Damit zieht A "1", B wählt das Gegenteil (wegen seiner Strategie), also 2. Die Strategie für A wiederum sagt, dass A jetzt 2 zieht. Damit ist die Auszahlung -1, was man in der Matrix bei A3xB4 wieder findet. Kleine Bemerkung am Rande: Dass die Matrix in diesem Fall so symmetrisch aussieht hat damit zu tun, dass das Spiel so extrem simpel ist. Schon wenn man für jeden Zug drei Wahlmöglichkeiten zulässt, sieht die Matrix schon deutlich anders aus. Allerdings steigt die Anzahl der Strategien dann auch deutlich und es wird schnell unübersichtlich.

Jetzt lassen sich ein paar interessante Beobachtungen anstellen. Zum Beispiel kann B nicht gewinnen, wenn A keinen groben Fehler macht. Egal, was B macht, immer kann A im letzten Zug zumindest ein Unentschieden sichern. Deshalb wäre die rationale Entscheidung für B, die Strategie B2 zu wählen. Denn wenn A 1 wählt, kommt B mit einer "0" raus, wann A am Anfang 2 zeiht, verliert B wenigstens nur mit einer 1.
Auf der anderen Seite steht A vor der gleichen Entscheidung, denn er weiß, dass B nicht ganz blöd ist und z.B. auf "1" nicht wieder mit "1" antworten würde, weil A sonst mit 6 gewinnt. Damit ist es auch für A richtig, die 2 zu wählen und wenigstens den einen Punkt mitzunehmen, statt mit einer 1 nicht über Auszahlung 0 hinaus zu kommen.

Es ist spät geworden, und der Punkt auf den ich hinaus will, ist nicht mehr wahnsinnig weit entfernt, aber doch weit genug als bis zum Wochenende warten zu müssen. Immer unterschätze ich die Zeit, die ich dafür brauche, Bilder zu malen und Beispiele zu erfinden.

In der letzten "Schlag den Raab"-Ausgabe wurde ein Spiel gespielt, das mich fasziniert hat. Es geht so:

Der erste Spieler würfelt mit einem Würfel. Ist es eine Zahl von 1-5, wird diese auf sein Punktekonto addiert und er darf nochmal würfeln. Ist es aber eine 6, verliert er alle Punkte wieder und der zweite Spieler ist dran. Man kann jederzeit aufhören zu würfeln, solange man keine 6 bekommt, dann werden die bisher erreichten Punkte auf ein Gesamtpunktekonto gutgeschrieben und der Gegner ist dran. Wer zuerst 50 Gesamtpunkte hat, ist der Sieger. 

Zum Beispiel könnte das Spiel so laufen:

Spieler 1: 1,5,6 (Gesamt: 0)

Spieler 2: 4,4, Aufhören (Gesamt: 8)

Spieler 1: 2,1, Aufhören (Gesamt: 3)

Spieler 2: 3,6 (Gesamt: 8)

usw.

Die Frage die ich mir sofort gestellt habe: Ab welcher Punktzahl lohnt es sich, aufzuhören? Natürlich würde man kaum mit einem Punkt an den Gegner abgeben, aber man würde auch nicht einfach drauflos würfeln, bis man seine 50 Punkte zusammen hat, denn die Wahrscheinlichkeit, dabei einmal eine 6 zu würfeln und alles wieder zu verlieren ist sehr hoch. Nun bin ich aber relativ schwach darin, das passende Wahrscheinlichkeitsmodell für solche Dinge zu finden. Selbst wenn ich eins finde, bin ich mir immer noch wahnsinnig unsicher, ob es das richtige war und ob damit nicht vielleicht die ganze Rechnung falsch ist. Viel besser bin ich darin, einfach ein Programm zu schreiben, das mir das Ganze simuliert.

Source

In dem Programm definiere ich einen "Cutoff", also eine Grenze, wo die virtuellen Spieler aufhören würden zu würfeln. Cutoff 10 bedeutet, dass der Spieler aufhört, sobald er >= 10 Punkte erreicht. Für jeden möglichen Cutoff habe ich dann jeweils 100.000 Spieler simuliert und das Ergebnis war.. nun ja.. interessant. Grafik gefällig?

Das Ergebnis überrascht mich ehrlich gesagt. Zwischen Cutoff 7 und 30 ist es relativ egal, was man macht, immer braucht man im Schnitt 8-9 Würfelnrunden um die 50 Punkte zu erreichen. Das macht irgendwie auch Sinn, denn bei Cutoff 25 bräuchte man ja nur zwei erfolgreiche Runden um zu gewinnen, aber bei Cutoff 7 ist die Wahrscheinlichkeit durch eine 6 gekillt zu werden entsprechend kleiner. Trotzdem läuft das irgendwie gegen meine Intuition, dass eine so breite Spanne von Cutoffs die gleichen Werte hat. Wenn jemand tatsächlich Ahnung von Mathematik hat und mir das erklären könnte, wäre ich sehr dankbar.

Wer ins Casino geht und sich (wie ich) als erstes fragt, bei welchem Spiel er mathematisch die besten Chancen hat zu gewinnen, landet zu meiner großen Verwunderung ziemlich oft bei Roulette. Das hat zumindest eine kurze, wenig repräsentative Umfrage in meinem Bekanntenkreis ergeben. Oft mit einem Zusatz wie "Wenn man mal so etwas wie Poker ignoriert".

Zunächst kommt es bei Poker drauf an, mit welchen Einsätzen man spielt. Casinos halten von jedem Pot einen kleinen Teil ein, das so genannte "Rake". Wenn der Einsatz klein ist, übersteigt der Rake oft die möglichen Gewinne. Also verliert man hier auch über die Zeit, außer man hat einen deutlichen spielerischen Vorteil gegenüber seinen Gegnern.

Aber zurück zum Roulette. Ich vermute, die Entscheidung für dieses Spiel basiert darauf, dass es nur eine einzige Zahl gibt, wo die Bank gewinnt (die Null). Dem gegenüber stehen die gaaaanzen, vielen Zahlen auf der Roulette-Scheibe, bei der die Bank nichts gewinnt. Deshalb glaubt man wohl, der Bankenvorteil müsse verschwindend gering sein. Die Gewinnquoten sind so allerdings so berechnet, als ob es die Null nicht gäbe. Das heißt, die Quote sind für alle einfachen Einsätze minimal zu klein oder konkret: Im Schnitt gewinnt die Bank bei allen einfachen Einsätzen 1,35%.

Beim Baccara ist es sogar noch schlechter. Wenn der Spieler oder die Bank gewinnt ist der Bankvorteil bei 1%, im Falle eines Unentscheidens jedoch knappe 15%. Das kommt zwar nur in 10% der Fälle vor, ist deswegen trotzdem nicht gerade vorteilhaft für den Spieler. Auch Let it Ride-Poker hat etwa 2% Bankvorteil. Zum Vergleich: Deutsches Lotto hat eine Ausschüttungsquote von 50%. Wenn man also für 120 Millionen alle möglichen Reihen tippt, beträgt die Gewinnerwartung lächerliche 60 Millionen. Nach 2 Monaten Lottospiel hat man damit aus 120 Millionen Euro einen fünfstelligen Betrag gemacht.

Der Champion unter den spielerfreundlichen Casinospielen ist Blackjack. Der Vorteil der Bank besteht, weil der Spieler zuerst dran ist. Wenn man über 21 kommt, hat die Bank automatisch gewonnen, auch wenn sie unter normalen Umständen ebenfalls über 21 gekommen wäre. Dieser Vorteil ist aber trotzdem gering, weil der Spieler schließlich auch eine Karte der Bank sieht und außerdem weiß, dass die Bank mindestens 17 erreichen muss. Sieht der Spieler also eine 4 bei der Bank, ist es oft gut, einfach auch mit 12 Punkten keine Karte mehr zu nehmen. Die Chance ist nämlich ganz gut, dass die zweite Karte der Bank 10 Punkte wert ist. Und mit 14 Punkten steht wiederum die Chance gut, dass die Bank noch eine hohe Karte erwischt und über 21 kommt.

Der Bankvorteil ist damit bei Blackjack unter 0,5%, zumindest bei mathematisch perfektem Spiel. Ist natürlich blöd wenn Blackjack einem überhaupt gar keinen Spaß macht. So wie mir.

Lance Fortnow, seines Zeichens ACM-Vize und bekannter Informatik-Theoretiker, hat in seinem Blog einen äußerst interessanten Beitrag, den ich mal kurz erwähnen möchte. Folgendes ist passiert: In Amerika läuft ja nach wie vor Jeopardy. Das ist eine Spielshow, wo am Schluss noch so eine Art Masterfrage gespielt wird. Jeder Spieler setzt einen beliebigen Betrag und bekommt den dann noch drauf, sollte er die Frage richtig beantworten. Der Trick ist, der Gewinner darf wieder in die Sendung kommen, also muss man sich genau überlegen wie viel man setzt.

Jetzt war in eben dieser Spielshow ein Informatiker zu Gast, der vor der Masterfrage 13400$ auf dem Konto hatte. Seine Gegner hatten jeweils 8000$. Sie mussten sowieso hoffen, dass der Informatiker die Masterfrage versaut oder so wenig Geld setzt, dass man eventuell noch vorbei ziehen könnte. Damit man aber nicht hinter dem 8000$-Gegener zurück bleibt, setzten beide alles. Beide könnten also auf 16000$ kommen und der Informatiker wusste all das natürlich auch und konnte sich denken, dass einer oder beide am Ende auf 16000$ kommen würde. Jetzt sehen die Regeln allerdings nicht vor, dass es nur einen Gewinner geben muss, also setzte der Informatiker 2600$ und kam damit auch auf 16000$, denn alle drei beantworteten die Masterfrage korrekt. Damit haben alle drei gewonnen und können in der nächsten Sendung wieder kommen. Er hätte auch 2700$ setzen können, aber er hätte nichts davon gehabt, alleiniger Sieger zu sein. Stattdessen setzte er gerade soviel, um bei richtig beantworteter Frage in die nächste Sendung zu kommen und bei falsch beantworteter Frage möglichst viel Geld mitzunehmen. Sehr intelligenter Einsatz.

Wenn man jetzt noch weiter gehen wollte, könnte man (wie ein Leser in dem Kommentaren schreibt) folgende Strategie anwenden. Alle drei spielen ganz normal, der Mensch mit dem wenigsten Geld setzt nichts, die anderen beiden setzen soviel, dass sie bei falsch beantworteter Frage den gleichen Betrag hätten. Dann wird natürlich die Frage von den beiden falsch beantwortet und alle können wieder kommen. Die Show läuft laut Wikipedia wöchentlich, damit könnte man seinen Lebensunterhalt bequem bestreiten.