Zufallsbit

Im letzten Beitrag über die Statik ging es um das Gleichgewicht der Kräfte. Die Quintessenz war, dass es bei Statik um starre Systeme geht und daher die Summe der Kräfte in alle Richtungen gleich null sein muss. Mit dieser Bedingung kann man zwei Gleichungen aufstellen und Dinge berechnen. Insbesondere ging es dabei um Auflager, was sich grob mit "Befestigungen" übersetzen lässt. Diese waren nötig, weil wir verhindern müssen, dass sich das System bewegen kann. Wir haben aber auch gesehen, dass in dem betrachteten 2D-System eine Gleichung fehlte, um die drei Unbekannten zu berechnen. Diese Gleichung ergibt sich aus den Momenten.



Momente treten auf, wenn sich irgendetwas infolge einer äußeren Kraft um eine Achse drehen würde. Wenn ihr einen Stift an einem Ende fest haltet und an der anderen Seite von oben drückt, dann würde sich der Stift um die Einspannung (die festhaltenden Finger) drehen. Vielleicht hilft dieses Bild ja bei der Vorstellung:

Wenn man hier gemäß dem roten Vektor auf den Balken drücken würde, "dreht" sich der Balken um den die untere Ecke der Einspannung und wirkt deshalb eine Kraft auf den oberen Kontaktpunkt. Das ist auch ganz intuitiv, dieses Verhalten würde man so erwarten. Das hilft uns jetzt weiter, denn genau wie die Summe der Kräfte, muss auch die Summe aller Momente in einem statischen System gleich Null sein, einfach weil sich das System nicht bewegen, also auch nicht drehen darf. Das gibt uns eine dritte Gleichung, mit der wir jetzt endlich ein einfaches statisches System zuende rechnen können.

Sicher haben alle schon einmal vom Hebelgesetz gehört. Demnach bewirken äußere Kräfte ein Moment, und zwar multipliziert mit dem Hebelarm. Einzelmomente allerdings haben keinen Hebelarm, das gilt wirklich nur für Momente verursachende äußere Kräfte. Das bedeutet auch, dass man sich, um Momente zu berechnen, irgendeinen Punkt wählen muss, um "den man drehen lässt". Welcher Punkt das ist, ist egal, das Ergebnis bleibt gleich. Beispiel:

Dieses Auflager ganz links nennt man auch "feste Einspannung" und nimmt sowohl vertikale und horizontale Kräfte als auch Momente auf. Man kann sich das buchstäblich als einen in die Wand geschlagenen Nagel vorstellen. Um auszurechnen, welche Kräfte an der Wand wirken benutzt man die drei Gleichgewichtsbedingungen:

1. Summe der horizontalen Kräfte ist null:

2. Summe der vertikalen Kräfte ist null:

3. Summe der Momente ist null. Hier drehen wir um die Einspannung (Punkt A). Die postitive Drehrichtung ist im Uhrzeigersinn:

Die Wand muss also ein Moment von - 20 kNm (Kraft mal Hebelarm) auffangen, verursacht durch die äußere Kraft. Zur Veranschaulichung von Momenten kann eventuell auch dieses Applet hilfreich sein.

Man kann übrigens wie erwähnt auch ohne Probleme z.B. um das Ende des Balkens drehen:

Man beachte, dass mit 2 multipliziert werden muss, weil es sich hier um ein von Kräften verursachtes Moment mit Hebelarm handelt. hingegen ist ein Einzelmoment und hat keinen Hebelarm. Zum Schluss können wir uns ja nochmal das System aus dem letzten Beitrag angucken:

Beim letzten Mal hatten wir schon festgestellt, aber jetzt können wir auch um den linken unteren Punkt A drehen um B zu bekommen. Die horizontale Länge des Systems nenne ich L, die eigentliche Größe ist egal, denn die Länge kürzt sich hier raus:

So weit, so einfach. Was aber, wenn es in diesem System z.B. noch ein gäbe? Wir hätten ein großes Problem, denn die Summe der Horizontalen würde zwei Unbekannte beinhalten. Man kann ebenfalls nicht um A oder B drehen, denn hätte keinen Hebelarm bezüglich A und umgekehrt, beide Unbekannten würden also raus fallen. Das Problem ist, dass das Gesamtsystem eine Unbekannte mehr als Gleichgewichtsbedingungen hat, das System ist statisch unbestimmt. Die Lösung ist Thema in nächsten Beitrag, kurz gesagt muss man dem System gezielt Unbekannte entziehen indem man Gelenke einfügt.

Good news everyone! Die lange, langsam peinliche inhaltslose Zeit dieses Blogs ist beendet. Das ganze Zeug was ich in den letzten Wochen gelernt habe wird ab jetzt offiziell hier verwurstet. Es geht um Technische Mechanik, genauer gesagt um Statik. Dazu müssen wir erstmal klären, was das genau ist.

Nun, Objekte in der realen Welt ("statische Systeme") werden ja irgendwie belastet. Jemand steht auf einer Brücke, Wind pustet seitlich gegen ein Haus, Schnee drückt auf ein Dach oder die Erdanziehung zieht ein Objekt nach unten. In der Realität wird also jedes System mindestens von der Erdanziehung belastet. Die Technische Mechanik fragt sich im Allgemeinen, wie eine Kraft auf ein System wirkt. Die Statik im Speziellen fragt sich, wie eine Kraft auf ein starres (unbewegliches) System wirkt. Dafür darf das System natürlich keinerlei Freiheitsgrade haben. Nehmen wir als Beispiel den Schreibtisch an dem ich gerade sitze. Wenn ich von der Seite drücken würde, würde er sich verschieben. Wenn ich aber von oben drücke, würde der Boden, auf dem die Tischbeine stehen, die Kraft auffangen (oder besser gesagt: entgegenwirken). Ich habe hier also ein kinematisches (bewegliches) System und das ist nicht das Thema. Die Statik würde annehmen, dass der Schreibtisch z.B. an der Wand fest angebracht ist, sich also nicht verschieben kann.

Um ein statisches System zu bekommen, muss also in jeder möglichen Richtung eine Befestigung bestehen. Das nennt man dann "Auflager". Damit das ganze hier aber nicht zu sehr ausartet, beschränken wir uns auf 2D-Systeme und vergessen ab jetzt die y-Achse. Das ist nur eine verhältnismäßig kleine Einschränkung, alles was wir hier besprechen funktioniert genau so in 3D, nur da wird es schnell unübersichtlich und unnötig kompliziert. Ein Schreibtisch als statisches 2D-System ausgedrückt, wo ich oben drauf drücke sähe damit so aus:

Dazu gibt es einige Dinge zu sagen. Zunächst ginge der Tisch natürlich in y-Richtung weiter, wir haben aber wie gesagt jetzt eine Art seitliche Sicht um die Dinge zu vereinfachen. Der Nullpunkt ist ab jetzt immer ganz unten links und die x-Richtung geht nach rechts, die z-Richtung nach oben. Der rote Pfeil ist natürlich die Kraft, die auf den oberen Bereich wirkt. Die beiden dreieckigen Dinger unten sind die eben erwähnten Auflager. Das linke Auflager kann Kräfte in x- und z-Richtung aufnehmen, wärend das rechte nur Kräfte in z-Richtung aufnehmen kann. Daher auch der kleine Strich unter dem Auflager, den kann man ganz physisch als "Boden" auffassen wärend das Auflager darüber in x-Richtung verschieblich ist.

Es ist also so, dass der Tisch auf dem Boden steht, denn beide Tischbeine können vertikale Kräfte von oben aufnehmen, zudem ist das linke Tischbein unten noch "an der Wand befestigt", damit wir hier ein statisches System bekommen.

Um jetzt irgendetwas berechnen zu können bringt man die entgegenwirkenden Kräfte, die vom Boden ausgehen, am System an. Wenn wir diese ausrechnen, wissen wir welche Kräfte an den Stellen auftreten, wo der Tisch auf dem Boden steht bzw. verankert ist. Das können wir machen, weil wir ja wissen, dass das System unbeweglich ist. Es muss also so sein, dass alle vertikalen Kräfte zusammen und alle horizontalen Kräfte zusammen gleich Null sind. Wenn wären, wären ja die Kräfte, die von unten kommen größer als die von oben kommenden, da System würde sich entsprechend verbotenerweise bewegen. Damit haben wir zwei Gleichungen:

und .

Die Summe aller Kräfte in einer Richtung ist immer gleich Null. Damit:



1)

(die obere Kraft zeigt nach unten, in negative z-Richtung und hat damit ein negatives Vorzeichen)



2)

Man beachte, dass es egal ist, in welche Richtung ich die Auflagerkäfte anzeichne. Ich hätte auch alle umgekehrt Zeichnen können, das einzige was sich geändert hätte, wäre das Vorzeichen. Und das ist nicht weiter schlimm, worauf ich im nächsten Beitrag eingehen werde.

Mit diesen beiden Gleichungen sind wir nicht besonders viel weiter gekommen. Wir haben festgestellt, dass ist, was wir auch wohl einfach erraten hätten, denn wo keine horizontale äußere Kraft wirkt, muss auch keine entgegen halten. Wir haben immer noch zwei Variablen, aber nur eine Gleichung. Nötig ist eine weitere Gleichung und woher die kommt, darum gehts dann im nächsten Beitrag.

P.S.: Natürlich wird sich heraus stellen, dass . Eine Kraft die in der Mitte angreift, verteilt sich gleichmäßig auf beide Auflager. Wäre ja auch schlimm, wenn sich so einfache Systeme schon nicht-intuitiv verhalten würden.