Zufallsbit

In einem Anfall von Langeweile und weil "Sur3" in den Kommentaren des ersten Beitrages zum Monty Hall Problem immer noch nicht glaubt, dass es besser ist zu wechseln, habe ich eben ein kurzes (und echt hässliches) Python-Skript zusammengehackt, das eben dieses Problem simuliert.

Die Ergebnisse bei 100.000 Durchläufen:

% python montyhall.py

Switch Win: 66597

Switch Lose: 33403

No Switch Win: 33382

No Switch Lose: 66618

Conclusive proof :)

Wer ins Casino geht und sich (wie ich) als erstes fragt, bei welchem Spiel er mathematisch die besten Chancen hat zu gewinnen, landet zu meiner großen Verwunderung ziemlich oft bei Roulette. Das hat zumindest eine kurze, wenig repräsentative Umfrage in meinem Bekanntenkreis ergeben. Oft mit einem Zusatz wie "Wenn man mal so etwas wie Poker ignoriert".

Zunächst kommt es bei Poker drauf an, mit welchen Einsätzen man spielt. Casinos halten von jedem Pot einen kleinen Teil ein, das so genannte "Rake". Wenn der Einsatz klein ist, übersteigt der Rake oft die möglichen Gewinne. Also verliert man hier auch über die Zeit, außer man hat einen deutlichen spielerischen Vorteil gegenüber seinen Gegnern.

Aber zurück zum Roulette. Ich vermute, die Entscheidung für dieses Spiel basiert darauf, dass es nur eine einzige Zahl gibt, wo die Bank gewinnt (die Null). Dem gegenüber stehen die gaaaanzen, vielen Zahlen auf der Roulette-Scheibe, bei der die Bank nichts gewinnt. Deshalb glaubt man wohl, der Bankenvorteil müsse verschwindend gering sein. Die Gewinnquoten sind so allerdings so berechnet, als ob es die Null nicht gäbe. Das heißt, die Quote sind für alle einfachen Einsätze minimal zu klein oder konkret: Im Schnitt gewinnt die Bank bei allen einfachen Einsätzen 1,35%.

Beim Baccara ist es sogar noch schlechter. Wenn der Spieler oder die Bank gewinnt ist der Bankvorteil bei 1%, im Falle eines Unentscheidens jedoch knappe 15%. Das kommt zwar nur in 10% der Fälle vor, ist deswegen trotzdem nicht gerade vorteilhaft für den Spieler. Auch Let it Ride-Poker hat etwa 2% Bankvorteil. Zum Vergleich: Deutsches Lotto hat eine Ausschüttungsquote von 50%. Wenn man also für 120 Millionen alle möglichen Reihen tippt, beträgt die Gewinnerwartung lächerliche 60 Millionen. Nach 2 Monaten Lottospiel hat man damit aus 120 Millionen Euro einen fünfstelligen Betrag gemacht.

Der Champion unter den spielerfreundlichen Casinospielen ist Blackjack. Der Vorteil der Bank besteht, weil der Spieler zuerst dran ist. Wenn man über 21 kommt, hat die Bank automatisch gewonnen, auch wenn sie unter normalen Umständen ebenfalls über 21 gekommen wäre. Dieser Vorteil ist aber trotzdem gering, weil der Spieler schließlich auch eine Karte der Bank sieht und außerdem weiß, dass die Bank mindestens 17 erreichen muss. Sieht der Spieler also eine 4 bei der Bank, ist es oft gut, einfach auch mit 12 Punkten keine Karte mehr zu nehmen. Die Chance ist nämlich ganz gut, dass die zweite Karte der Bank 10 Punkte wert ist. Und mit 14 Punkten steht wiederum die Chance gut, dass die Bank noch eine hohe Karte erwischt und über 21 kommt.

Der Bankvorteil ist damit bei Blackjack unter 0,5%, zumindest bei mathematisch perfektem Spiel. Ist natürlich blöd wenn Blackjack einem überhaupt gar keinen Spaß macht. So wie mir.

Ich bin im echten Leben eine äußerst schweigsame Person und wenn ich mal in irgendeiner Gesellschaft bin, fühlt sich immer irgendwann jemand genötigt, mir irgendwelche Fragen zu stellen. Ich würde präferieren einfach da zu sitzen und zu zu hören, aber das funktioniert so gut wie nie. Also erzähle ich ein paar Dinge von dem, was ich so mache und für was ich mich interessiere. Und weil man als normaler Mensch die Konversation nach einer Frage nicht einfach so abbricht, stellen die meisten dann Folgefragen, woraufhin ich etwas ins Detail gehe und 1-2 Dinge aus der Mathematik anschneide die mich besonders interessieren. Und jetzt kommt dann normalerweise die Frage "Und wofür braucht man das alles?".

An dieser Stelle bin ich immer leicht genervt. Ich frage ja auch nicht nach der Daseinsberechtigung des Berufes meines Gesprächspartners. Trotzdem habe ich natürlich immer ein paar Beispiele parat, die einfach genug sind damit sie der Durschnittsmensch versteht, aber schwierig genug um kurz drüber nachdenken zu müssen. Eins davon ist das Drei-Ziegen-Problem...

Du bist in einem Quiz und hast drei Türen vor dir. Hinter einer Tür befindet sich ein Hauptpreis, hinter den beiden anderen eine Niete. Du musst eine Tür wählen. Wenn du den Hauptpreis triffst, öffnet der Showmaster zufällig eine andere Tür und präsentiert die Niete, deine Tür bleibt verschlossen. Wenn du eine Niete triffst, öffnet der Showmaster die Tür mit der anderen Niete dahinter.

Jetzt darfst du entscheiden, ob du bei deiner Tür bleibst oder die verbliebene wählst. Sollte man wechseln?

Jetzt überlegen die meisten kurz und fühlen sich dann besonders schlau wenn sie sagen "Ist egal, die Wahrscheinlichkeit für den Hauptpreis ist 50/50." (Ha, dem Mathefuzzi hab ichs gezeigt, braucht eh keiner was der macht.) Dann sage ich "Nein, du bist besser dran wenn du die Tür wechselst. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Türwechsel zu gewinnen ist 2/3, deine erste Tür hat nur eine Wahrscheinlichkeit 1/3 zu gewinnen." Natürlich beharren jetzt die meisten auf ihrem Standpunkt, es gibt ja nur noch zwei Möglichkeiten und du hast eine gewählt. Da muss die Wahrscheinlichkeit 50/50 sein. Ich diskutiere also kurz, ohne echte Argumente zu geben, lasse den anderen immer sicherer in seiner Meinung werden um dann folgendes zu sagen:

"Okay, dann stell die folgendes vor: Es gibt tausend Türen, du wählst dir eine aus. Der Showmaster öffnet 998 andere Türen, es bleiben also nur eine Tür irgendwo in der Mitte über und deine. Würdest du immer noch sagen du hättest am Anfang mit 50%iger Wahrscheinlichkeit die richtige Tür gewählt?" Es dauert ein paar Sekunden bis das gesackt ist und dann kommt die Erkenntnis. Die Gewinnwahrscheinlichkeit deiner ersten Wahl ist natürlich abhängig von der ersten Situation. Die Wahrscheinlichkeit bei der 1000-Türen Variante ist zuerst 1/1000, und dann spalten wir die Probleme sozusagen ab. Das erste Problem ist, "da ist eine Tür". Nichts anderes. Das was hinter der Tür ist gehört dir. Die Wahrscheinlichkeit dass da was ist, ist 1/1000. Das zweite Problem sind die 999 anderen Türen. Die Wahrscheinlichkeit pro Tür ist 1/1000. Der Showmaster hat bereits 998 Türen geöffnet, es bleibt noch eine über, worauf sich die 998*(1/1000) anderen Wahrscheinlichkeiten übertragen. Deine Tür hat aber immer noch 1/1000 während die noch geschlossene Tür aus dem zweiten Problem jetzt 999/1000 hat.

Wenn jemand das begriffen hat, kommen normalerweise keine Fragen mehr und ich kann weiter da sitzen und zu hören. Ich rede mir selber ein, dass man mich danach nicht als Klugscheißer sieht, sondern die Wichtigkeit von Mathematik erkannt hat. Obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür nur 1/1000 ist.